1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Аналитическая геометрия Индивидуальные задания Пособие разработано ст. преп. Смышляевой Т. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» Y 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ Пермь 2007 Образец решения варианта Даны вершины треугольника: А (1,-3), В (2,5) и С (8,1). Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты ЂЂЂ из вершины В, а также длину медианы, проведенной из вершины А. Решение: Рис. 1 Составим уравнение медианы АD. Координаты точки D определяем по формулам координат середины отрезка . D (5; 3). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки . Получаем . Уравнение медианы AD: . Составим уравнение высоты, проведенной из вершины В. Так как ВЕ ЂЂЂ АС, следовательно . Угловой коэффициент прямой АС определяем по формуле . Следовательно, . Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку М0 (x0,y0) в данном направлении . Уравнение высоты из вершины В: , . Для нахождения координат точки пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты, проведенной из вершины В нужно решить совместно из уравнения . Точка О (4;). Длина медианы определяется по формуле расстояния d между точками А (x1,y1)и D (x2,y2) на плоскости . А (1,-3), D (5,3) . Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и образующих с прямой . Решение: Рис. 2 Уравнения искомых прямых имеют вид , так как прямые проходят через начало координат. Задача имеет два решения (Рис. 2). Для решения используем формулу , причем, поскольку нас интересует острый угол, правую часть формулы возьмём по абсолютной величине. Пусть угловой коэффициент одной из искомых прямых равен k. Угловой коэффициент заданной прямой равен 3. Так как угол между этими прямыми равен , то . Тогда , отсюда и . Решая каждое из получившихся уравнений, находим, что угловой коэффициент одной из прямой , а другой . Уравнения искомых прямых . Даны вершины А (-3,-2), В (4,-1), С (1,3) трапеции ABCD (AD ЂЂЂЂЂЂ BC). Составить уравнение средней линии трапеции. Полученное уравнение привести к уравнению в «отрезках» и к нормальному. Решение: Составим уравнение прямой ВС (уравнение прямой, проходящей через две точки). От общего уравнения прямой () перейдем к уравнению с угловым коэффициентом (). Средняя линия трапеции параллельна ВС и проходит через середину отрезка АВ. Е ЂЂЂ середина АВ, следовательно Е (). Так как прямые параллельны, то . Используем уравнение прямой Уравнение средней линии трапеции: . Уравнение прямой в отрезках: Рис. 3 , а ЂЂЂ величина отрезка отсекаемого прямой на оси ОХ, b - величина отрезка отсекаемого прямой на оси ОY. Перенося свободный член данного уравнения в правую часть равенства, получим . Деля обе части равенства на -5, будем иметь . Следовательно, (Рис. 4). Рис. 4 Нормальное уравнение прямой (Рис. 5) , р ЂЂЂ длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, ЂЂЂ - угол, который образует этот перпендикуляр с положительным направлением оси ОХ. Рис. 5 Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель , причем перед дробью следует выбрать знак, противоположный знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Находим нормирующий множитель (знак минус берется потому, что С = 5 ЂЂЂ 0). Таким образом, нормальное уравнение полученной прямой имеет вид . Направляющие косинусы . Длина перпендикуляра из начала координат к прямой . Найти расстояние между параллельными прямыми . Решение: Искомое расстояние найдем как расстояние от произвольной точки первой прямой до второй прямой. Возьмем на первой прямой произвольную точку, например, точку с абсциссой . Её ордината . Итак, на первой прямой выбрана точка А (1;3). Найдем теперь расстояние этой точки до второй прямой по формуле . . Даны точки М1 (-3; 7; -5) и М2 (-8; 3; -4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной вектору . Решение: Найдем координаты нормального вектора . Имеем . Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М (). Перпендикулярно данному вектору : . Искомое уравнение плоскости: . Через точку пересечения плоскостей провести плоскость, параллельную плоскости
409.63 Kb.Название страница1/5Дата конвертации25.08.2012Размер409.63 Kb.Тип источник
Федеральное агентство по образованию
Федеральное агентство по образованию
Комментариев нет:
Отправить комментарий